Correction Controle

Exercice 1

a Il s'agit d'une augmentation de 4%, donc $CM = 1 + \frac{4}{100} = 1,04$

$u_0 = 21000$
$u_1 = 21000 \times 1,04 = 21840$
$u_2 = 21840 \times 1,04 = 22713,6$

b Cette suite est une suite géométrique de premier terme $21000$ et de raison $1,04$.

c Formule explicite : $u_n = 21000 \times 1,04 ^ n$.

$v_0 = 23000$
$v_1 = 23000 + 500 = 23500$
$v_2 = 23500 + 500 = 24000$

b On calcule les coefficients multiplicateurs permettant de passer de $v_0$ à $v_1$ et de $v_1$ à $v_2$ : $$ \frac{v_1}{v_0} \simeq 1,02 \\ \frac{v_2}{v_1} \simeq 0,98 $$ Dans le cas d'une suite géométrique, ces coefficients sont tous identiques et égaux à la raison. Donc la suite $v_n$ n'est pas géométrique.

3 On calcule les salaires au bout de 8 ans : $$ u_8 \simeq 28740 \\ v_8 \simeq 27000 $$ Donc, il faut choisir le type 1.

Il est plus pertinent de calculer la somme des salaires annuels sur les 8 années pour vérifier quel est le salaire le plus intéressant. On s'appercevrait alors qu'il est en fait plus intéressant de choisir le salaire 2, même si au bout de 8 ans, c'est le salaire 1 le plus élevé. Il aurait fallu faire une somme de suite géométrique.

4 Questions Bonus :

a $v_{n+1} = v_n + 500$

b $v_{n} = 23000 + 500 n$

Exercice 2 Les intérêt rapportant 5% par an, c'est une augmentation, le CM vaut $1 + \frac{5}{100} = 1,05$.

1 $u_{n+1} = CM u_n = 1,05 u_n$. On reconnaît la formule récursive d'une suite géométrique.

2 Formule explicite : $u_n = 1000 \times 1,05^n$.

a La suite $(u_n)$ est croissante car géométrique de raison strictement supérieure à 1 et de premier terme positif : $1,05 \gt 1$ et $1000 \gt 0$.

b $lim u_n = + \infty$ car géométrique de raison strictement supérieure à 1 et de premier terme positif : $1,05 \gt 1$ et $1000 \gt 0$.

1,05 $\rightarrow$ Q
0 $\rightarrow$ N
1000 $\rightarrow$ U
2000 $\rightarrow$ S

While U < S
N+1 $\rightarrow$ N
Q $\times$ U $\rightarrow$ U
End

Disp N

5 A l'aide de l'algorithme, ou en calculant les termes successifs, on a : $$ u_14 \simeq 1980 \\ u_15 \simeq 2079 $$ Donc, le capital dépassera les 2000€ la 15ème année.

Exercice 3

$u_{n+1}$ correspond aux arbres de l'année $n+1$
$u_{n}$ correspond aux arbres de l'année $n$
0,95 correspond à la baisse de 5%
3 correspond aux 3 milliers d'arbres supplémentaires

a $$ \begin{array}{llll} v_{n+1} &=& 60 - u_{n+1} & \text{d'après le 2°}\\ v_{n+1} &=& 60 - (0,95 u_{n} + 3) & \text{d'après le 1°}\\ v_{n+1} &=& 60 - 0,95 u_{n} - 3 & \text{en développant}\\ v_{n+1} &=& 57 - 0,95 u_{n} & \text{en simplifiant}\\ v_{n+1} &=& 57 - 0,95 (60 - v_n) & \text{d'après le 1°}\\ v_{n+1} &=& 57 - 0,95 \times 60 + 0,95 v_n & \text{en développant}\\ v_{n+1} &=& 0,95 v_n & \text{en simplifiant}\\ \end{array} $$ On reconnaît l'expression récursive d'une suite géométrique de raison 0,95.

b $$ \begin{array}{llll} v_0 &=& 60 - u_0 &\text{d'après 2°} \\ v_0 &=& 60 - 50 = 10 & \end{array} $$ Donc, comme la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,95, $v_n = 10 \times 0,95^n$.

c $$ \begin{array}{llll} u_n &=& 60 - v_n & \text{ d'après 2°} \\ u_n &=& 60 - 10\times 0,95^ n & \text{d'après la question précédente} \end{array} $$

3 Le nombre d'arbres de la forêt en 2015 correspond à $u_5$. On utilise la formule précédente : $$ u_5 = 60 - 10 \times 0,95^5 \simeq52,3 $$ En arrondissant à l'unité, on prédit 52 milliers d'arbres pour 2015

4 La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,95 \lt 1$ et de premier terme positif, donc sa limite vaut 0. Comme $u_n = 60 - v_n$, la limite de la suite $(u_n)$ vaut $60 - 0 = 60$.
En conclusion, le nombre d'arbre ne dépassera jamais les 60 milliers.